Ja, TM kann nicht auf exFat sichern, oder nur mit einem Umweg über "Bastelei" und das Terminal, den ich aber keinem Anfänger empfehlen würde, zumal wohl keiner der hier gangbaren Wege auch zu einem immer zuverlässig laufenden System führt.
Die FritzBox hat auch einen relativ lahmen Prozessor drinnen, d.h. mit so einer Lösung würde ich vermutlich auf Dauer nicht glücklicher werden.
Ehrlich gesagt würde ich mich an Deiner Stelle nach einer der folgenden Lösungen umschauen:
- eine (kleines) NAS, z.B. von Synology, QNAP, oder auch etwas in Richtung WD My Cloud Home.
- ein Router, der die Festplatte als TM ansprechbar macht. Hier gab/gibt es wohl Lösungen u.a. von Asus. Aber da müsstest Du mal etwas suchen.
Da Du schon mit der FritzBox einen Router hast, diese vermutlich auch nicht ganz billig sind, und ein NAS darüber hinaus noch weitere Funktionen hat, die im Laufe der Zeit nützlich sein könnten, würde ich mich (bzw. habe ich das so bei mir) für ein NAS entscheiden, und darauf die TimeMachine sichern lassen. Dies hat auch den weiteren Vorteil (bei Systemen mit mehreren Platten!) das man diese so konfigurieren kann, dass man hier einen Ausfallschutz erreichen kann, geht also mal eine Platte dort kaputt, kann man diese, je nach Konfiguration des NAS, ersetzen, ohne dass die Daten verloren gehen.